Question

13．在△ABC中，∠B=60°，點P為BC邊上一點，設BP=x，AP²=y（如圖1），已知y是x的二次函數的一部分，其圖象如圖2所示，點Q（2，12）是圖象上的最低點．
（1）邊AB=4，BC邊上的高AH=2$\sqrt{3}$；
（2）當△ABP為直角三角形時，BP的長是多少．

Answer 1

分析 （1）當AP⊥BC時可知AP²最小，由函數圖象可知AP²的值，可求得AP的長即AH的長，在△ABH中，利用三角函數定義可求得AB；
（2）當∠APB=90°時，由（1）利用直角三角形的性質可求得BP的長，當∠BAP=90°時，由直角三角形的性質可知BP=2AB，可求得答案．

解答 解：
（1）當AP⊥BC時可知AP²最小，
∵函數圖象中過Q點時函數值最小，
∴AH=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，即BC邊上的高為2$\sqrt{3}$；
在Rt△ABH中，∠B=60°，
∴$\frac{AH}{AB}$=sin60°，即$\frac{2\sqrt{3}}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得AB=4，
故答案為：4；2$\sqrt{3}$；
（2）當∠APB=90°時，在△ABP中，∠B=60°，
∴∠BAP=30°，∴BP=$\frac{1}{2}$AB=2；
當∠BAP=90°時，在△ABP中，∠B=60°，
∴∠APB=30°，
∴BP=2AB=8．
綜上可知當△ABP為直角三角形時，BP的長是2或8．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及函數圖象與性質、三角函數定義、直角三角形的性質及分類討論思想等知識．在（1）中由圖象信息得出AH的長是解題的關鍵，在（2）中分兩種情況分別利用直角三角形的性質求得BP與AB的關系是解題的關鍵．本題考查知識較基礎，較易得分．