Question

18．某班“手拉手”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)互助小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進行探究時，遇到以下問題，請你逐一加以解答：
（1）如圖1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點G，H，則EF=GH；（填“＞”“=”或“＜”）
（2）如圖2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點G，H，求證：$\frac{EF}{GH}$=$\frac{AD}{AB}$；
（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7.5，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，求$\frac{DN}{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）EF=GH．如圖1中，過點A作AP∥GH，交BC于P，過點B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．先證明四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形，推出AP=GH，EF=BQ．再證明△ABP≌△BCQ，推出AP=BQ，即可解決問題．
（2）過點A作AP∥EF，交CD于P，過點B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；
（3）過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，易證四邊形ABSR是矩形，由（1）中的結(jié)論可得$\frac{DN}{AM}$=$\frac{AR}{AB}$．設(shè)SC=x，則AR=BS=3+x，由△ARD∽△DSC，得$\frac{DR}{SC}$=$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AR}{DS}$=$\frac{7.5}{5}$=$\frac{3}{2}$，推出DR=$\frac{3}{2}$x，DS=$\frac{2}{3}$（x+3），在Rt△ARD中，根據(jù)AD²=AR²+DR²，可得7.5²=（x+3）²+（$\frac{3}{2}$x）²，求出x即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，過點A作AP∥GH，交BC于P，過點B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AD∥BC．AB=BC，∠ABP=∠C=90°
∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形，
∴AP=GH，EF=BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠PBT+∠ABT=90°，∠ABT+∠BAT=90°，
∴∠CBQ=∠BAT，
在△ABP和△BCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠CBQ}\\{∠ABP=∠C}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∴EF=GH，
故答案為=．

（2）過點A作AP∥EF，交CD于P，過點B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖2，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形，
∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，
∴∠QAT+∠AQT=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，
∴∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠AQT=∠DPA．
∴△PDA∽△QAB，
∴$\frac{AP}{BQ}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{EF}{GH}$=$\frac{AD}{AB}$；
（3）過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，

則四邊形ABSR是平行四邊形．
∵∠ABC=90°，∴?ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，
∴由（1）中的結(jié)論可得$\frac{DN}{AM}$=$\frac{AR}{AB}$，
設(shè)SC=x，則AR=BS=3+x，
∵∠ADC=∠R=∠S=90°，
∴∠ADR+∠RAD=90°，∠ADR+∠SDC=90°，
∴∠RAD=∠CDS，
∴△ARD∽△DSC，
∴$\frac{DR}{SC}$=$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AR}{DS}$=$\frac{7.5}{5}$=$\frac{3}{2}$，
∴DR=$\frac{3}{2}$x，DS=$\frac{2}{3}$（x+3），
在Rt△ARD中，∵AD²=AR²+DR²，
∴7.5²=（x+3）²+（$\frac{3}{2}$x）²，
整理得13x²+24x-189=0，解得x=3或-$\frac{63}{13}$，
∴AR=6，AB=RS=$\frac{17}{2}$，
∴$\frac{DN}{AM}$=$\frac{AR}{AB}$=$\frac{12}{17}$．

點評 題主要考查了正方形的先證、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．