Question

【題目】如圖，直線y＝－x＋3與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，點C是第二象限內任意一點，以點C為圓心的圓與x軸相切于點E，與直線AB相切于點F.

(1)如圖①，當四邊形OBCE是矩形時，求點C的坐標；

(2)如圖②，若⊙C與y軸相切于點D，求⊙C的半徑r；

(3)在⊙C的移動過程中，能否使△OEF是等邊三角形？(只回答“能”或“不能”)

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為(－5，3)；（2）r＝2；（3）不能．

【解析】

（1）因為直線yx+3與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，所以分別令x=0，y=0，可求出A（4，0），B（0，3），所以OA=4，OB=3，AB=5，連接CF，當四邊形OBCE為矩形時，有CF=CE=OB=3，CB∥x軸，利用兩直線平行同位角相等可得∠CBF=∠BAO，又因⊙C與直線AB相切于點F，所以CF⊥AB于點F，利用AAS可知△CBF≌△BAO，所以CB=AB=5，即點C的坐標為（﹣5，3）；

（2）因為點C（m，n）是第二象限內任意一點，以點C為圓心的圓與x軸相切于點E，與直線AB相切于點F，若⊙C與y軸相切于點D，可分別連接CE、CF、CD，則由切線長定理得AF=AE，BF=BD，OD=OE，所以AE（AB+OA+OB）=6，又因由切線性質定理得：CE⊥x軸于點E，CD⊥y軸于點D，所以四邊形CEOD為矩形，又因為CE=CD，所以四邊形CEOD為正方形，所以OE=CE=r=AE﹣OA=6﹣4=2；

（3）用反證法證明即可．假設△OEF是等邊三角形，得到∠FEO=60°．由切線長定理得AF=AE，從而得到△AEF是等邊三角形，故有∠EAB=60°．在△OAB中，tan∠OAB=≠tan60°，產生了矛盾，即三角形OEF不是等邊三角形．

（1）如圖1，當x=0時，y=3；當y=0時，x=4，∴A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5．

連接CF，當四邊形OBCE為矩形時，有CF=CE=OB=3，CB∥x軸，∴∠CBF=∠BAO

∵⊙C與直線AB相切于點F，∴CF⊥AB于點F

∴∠CFB=∠BOA．

又∵CF=OB，∴△CBF≌△BAO，∴CB=AB=5，∴點C的坐標為（﹣5，3）；

（2）如圖2，連接CE、CF、CD．

∵⊙C與x軸、y軸、AB分別相切于E、D、F，∴由切線長定理得AF=AE，BF=BD，OD=OE，∴AE（AB+OA+OB）=6，由切線性質定理得：CE⊥x軸于點E，CD⊥y軸于點D，∴四邊形CEOD為矩形．

又∵CE=CD，∴矩形CEOD為正方形，∴OE=CE=r．

∵OE=AE﹣OA=6﹣4=2，∴⊙C的半徑為2；

（3）不能．理由如下：

如圖3，假設△OEF是等邊三角形，∴∠FEO=60°．

∵AF、AE是切線，∴AF=AE，∴△AEF是等邊三角形，∴∠EAB=60°．在△OAB中，tan∠OAB=≠tan60°，∴產生了矛盾，即三角形OEF不是等邊三角形．