Question

【題目】已知△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF．

（1）如圖①，AB是直徑，要使EF是⊙O的切線，還須添加一個條件是（只需寫出三種情況）．

（ī）　 　（īī）　 　（īīī）　 　

（2）如圖（2），若AB為非直徑的弦，∠CAE＝∠B，則EF是⊙O的切線嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）AB⊥EF ∠BAE=90° ∠ABC=∠EAC（2）詳見解析

【解析】

（1）根據切線的判斷由或可判斷為的切線；當，根據圓周角定理得，所以，即，于是也可判斷為的切線；

（2）作直徑，連結，由為直徑得，則，根據圓周角定理得，而，所以，則，根據切線的判定定理得到為的切線.

（1）當 AB⊥EF 或∠BAE=90°可判斷 EF 為⊙O 的切線；

當∠ABC=∠EAC，∵AB 為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∴∠EAC+∠CAB=90°，

∴AB⊥EF，

∴EF 為⊙O 的切線；

故答案為 AB⊥EF、∠BAE=90°、∠ABC=∠EAC；

（2）證明：作直徑 AD，連結 CD，

∵AD 為直徑，

∴∠ACD=90°，

∴∠D+∠CAD=90°，

，，

∴，

∴，

∴，

∴EF 為⊙O 的切線.