Question

【題目】如圖，二次函數y＝x2﹣4x+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關于該二次函數圖象的對稱軸對稱的點．已知一次函數y＝kx+b的圖象經過該二次函數圖象上點A（1，0）及點B．

（1）求二次函數與一次函數的解析式；

（2）根據圖象，直接寫出滿足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范圍．

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P使得PA+PC最小，求P點坐標及最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，y＝x﹣1；（2）1≤x≤4；（3）存在，P（2，1），PA+PC最小值＝3．

【解析】

（1）將點A的坐標代入二次函數解析式求出m的值，再根據二次函數解析式求出點C的坐標，然后求出點B的坐標，最后利用待定系數法求一次函數解析式即可；

（2）根據函數圖象可得，點A以及點A右邊的部分，點B以及點B左邊的部分的自變量x的取值范圍即為不等式的解集；

（3）根據點B是點C關于該二次函數圖象的對稱軸對稱的點，于是得到直線AB與對稱軸的交點即為點P，PA＋PC的最小值＝AB，根據兩點間距離公式得到AB＝，把x＝2代入y＝x1即可得到結論．

解：（1）∵拋物線y＝x2﹣4x+m經過點A（1，0），

∴0＝1﹣4+m，

∴m＝3，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3，

∴點C坐標（0，3），

∵對稱軸x＝2，B、C關于對稱軸對稱，

∴點B坐標（4，3），

∵y＝kx+b經過點A、B，

∴，

解得，

∴一次函數解析式為y＝x﹣1；

（2）由圖象可知，滿足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范圍為：1≤x≤4；

（3）存在，

∵點B是點C關于該二次函數圖象的對稱軸對稱的點，

∴直線AB與對稱軸的交點即為點P，

則PA+PC最小值＝AB，

∴AB＝，

把x＝2代入y＝x﹣1得，y＝1，

∴P（2，1），PA+PC最小值＝3．