Question

【題目】如圖，△ABD、△CBD關于直線BD對稱，點E是BC上一點，線段CE的垂直平分線交BD于點F，連接AF、EF．

（1） 求證：AF＝EF；

（2） 如圖2，連接AE交BD于點G．若EF∥CD，求證：；

（3） 如圖3，若∠BAD＝90°，且點E在BF的垂直平分線上，tan∠ABD＝，DF＝，請直接寫出AF的長．

Answer 1

【答案】（1）CF＝EF＝AF（2）證明見解析（3）

【解析】（1）如圖1，連接CF，根據軸對稱的性質和線段垂直平分線的性質證得結論；

（2）結合已知條件易證△ABD∽△EBF，則該相似三角形的對應邊成比例：=，即=．然后由角平分線定理推知=，所以根據等量代換證得=；

（3）如圖3，過點E作EH⊥BD于H．結合銳角三角函數定義可以設EH=3a，BH=4a，則BE=EF=5a，BF=8a．過點F作FG⊥EC于G，在直角△GBF中，利用銳角三角函數定義求得線段FG、EG、BD的長度，則易得DF的長度，所以AF=EF=5a．

（1）如圖1，連接CF．

∵△ABD、△CBD關于直線BD對稱，線段CE的垂直平分線交BD于點F，∴CF=EF=AF，故AF=EF；

（2）由（1）可知：AF=EF．

∵△ABD、△CBD關于直線BD對稱，∴△ABD≌△CBD．

又∵EF∥CD，∴△CBD∽△EBF，∴△ABD∽△EBF，∴=，即=．

又BD為∠ABC的平分線，∴=（角平分線定理），∴=；

（3）如圖3，過點E作EH⊥BD于H．

∵tan∠EBH=tan∠ABD=，設EH=3a，BH=4a，則HE=3a，BE=EF=5a，BF=8a．

過點F作FG⊥EC于G，∴tan∠GBF=，∴FG=a，EG=CG=a，BC=BE+EG+GC=5a+a+a=，BD=a，∴DF=a﹣8a=a=，a=，∴AF=5a=．

故答案為：．