Question

3．等腰△ABC，AB=BC，點B，E在直線PQ上，連接AE，∠ABC=∠AEP=45°，CD∥AE，交直線PQ于點D，EM⊥PQ，交直線CD于點M．
（1）當點E在線段BD上時，如圖①，易證：AE=BE+EM；
（2）當點E在線段DB延長線上時如圖②：當點E在線段BD延長線上時如圖③．猜想線段AE，BE，EM之間有怎樣的數量關系？請寫出圖②③的猜想并給予證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AH⊥PQ于H，BF⊥CD于F．由△AEH、△BFD、△EMD都是等腰直角三角形，可得AE=$\sqrt{2}$AH，BD=$\sqrt{2}$BF，再證明△ABH≌△BCF即可解決問題．
（2）結論：AE=EM-BE．如圖2中，作AH⊥PQ于H，BF⊥CD于F．證明方法類似（1）．
結論：AE=BE-EM．如圖3中，作AH⊥PQ于H，BF⊥CD于F．證明方法類似（1）．

解答 （1）證明：如圖1中，作AH⊥PQ于H，BF⊥CD于F．

∵∠ABC=∠AEP=45°，AE∥CD，
∴∠FDB=∠FBD=45°，
∴△AEH、△BFD、△EMD都是等腰直角三角形，AE=$\sqrt{2}$AH，BD=$\sqrt{2}$BF，
∴∠ABH+∠CBF=180°-∠ABC-∠FBD=90°，
∵∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABH=∠BCF，
在△ABH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB=∠BFC}\\{∠ABH=∠BCF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BCF，
∴AH=BF，
∴AE=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$BF=BD=BE+EM．

（2）解：當點E在線段DB延長線上時，結論：AE=EM-BE．
理由：如圖2中，作AH⊥PQ于H，BF⊥CD于F．

∵∠ABC=∠AEP=45°，AE∥CD，
∴∠FDB=∠FBD=45°，
∴△AEH、△BFD、△EMD都是等腰直角三角形，AE=$\sqrt{2}$AH，BD=$\sqrt{2}$BF，DE=EM，
∴∠ABH+∠CBF=180°-∠ABC-∠FBD=90°，
∵∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABH=∠BCF，
在△ABH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB=∠BFC}\\{∠ABH=∠BCF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BCF，
∴AH=BF，
∴AE=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$BF=BD=DE-BE=EM-BE．

當點E在線段BD延長線上時，結論：AE=BE-EM．
理由：如圖3中，作AH⊥PQ于H，BF⊥CD于F．

∵∠ABC=∠AEP=45°，AE∥CD，
∴∠FDB=∠FBD=45°，
∴△AEH、△BFD、△EMD都是等腰直角三角形，AE=$\sqrt{2}$AH，BD=$\sqrt{2}$BF，DE=EM，
∵∠ABH+∠CBH=∠ABC=45°，∠BCF+∠CBH=∠BDF=45°，
∴∠ABH=∠BCF，
在△ABH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB=∠BFC}\\{∠ABH=∠BCF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BCF，
∴AH=BF，
∴AE=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$BF=BD=BE-DE=BE-EM．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．