Question

一個正整數除以5，7，9及11的余數依次是1，2，3，4．求滿足上述條件的最小的正整數．

Answer 1

分析：分別計算7×9×11除以5的余數，擴大二倍后除以5的余數、5×9×11除以7的余數，擴大6倍后除以7的余數、5×7×11除以9的余數，擴大3倍后除以9的余數、5×7×9=315除以11的余數，擴大10倍后除以11的余數，從而求出滿足題意的數8661，再根據 5，7，9，11的最小公倍數是3465，可求出最小符合題意的正整數．

解答：解：用剩余定理：7×9×11=693，除以5余3，擴大2倍為1386，除以5余1；
5×9×11=495，除以7余5，擴大6倍為2970，除以7余2；
5×7×11=385，除以9余7，擴大3倍為1155，除以9余3；
5×7×9=315，除以11余7，擴大10倍為3150，除以11余4；
1386+2970+1155+3150=8661，滿足題目要求．
5，7，9，11的最小公倍數是3465，則8661加上3465的整數倍的所有數字均滿足題目要求，
其中最小的正整數為：8661-2×3465=1731．

點評：本題考查了帶余數的除法運算，屬于競賽性題目，難度較大，關鍵是剩余定理的熟練掌握與運用及最小公倍數的求法．