Question

7．如圖，已知點D、F分別是△ABC的邊BC上兩點，點E是邊AC上一點，∠BFE=∠FEA，AB=13，AD=12，BD=5，AE=10，DF=4．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據勾股定理的逆定理即可而出結論；
（2）由∠BFE=∠FEA得出∠CFE=∠CEF，故CF=CE．設CE=CF=x，根據勾股定理求出x的值，再由三角形的面積公式即可得出結論．

解答 （1）證明：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AB²=BD²+AD²=169，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．

（2）解：∵∠BFE=∠FEA，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE．
設CE=CF=x，
∵∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²，即12²+（x+4）²=（10+x）²，
解得x=5，
∴BC=5+4+5=14，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=84．

點評 本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．