Question

19．如圖，已知過原點的直線與雙曲線$y=\frac{k}{x}$（k＞0）交于A、B兩點，點A到x軸的距離是它到y軸距離的一半，點B的縱坐標為-2．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求k的值；
（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線$y=\frac{k}{x}$（k＞0）于P，Q兩點（點P在第一象限），若以A，B，P，Q為頂點的四邊形面積為24，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作輔助線，證明△AOC∽△BOD，根據OC=2AC，得OD=2BD，由此得出點B的坐標，利用待定系數法求直線AB的解析式；
（2）因為點B在反比例函數的圖象上，所以把點B的坐標代入反比例函數解析式中可得k的值；
（3）根據中心對稱的性質可得：四邊形APBQ是平行四邊形，得出△AOP的面積為6，設設P（m，$\frac{8}{m}$）（m＞0，且m≠4），根據△AOP的面積列等式可求出m的值，從而得到點P的坐標．

解答 解：（1）如圖1，過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，則AC∥BD，
由題意得：OC=2AC，
∵AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{BD}{OD}$，
∴$\frac{BD}{OD}=\frac{AC}{2AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OD=2BD，
∵點B的縱坐標為-2，
∴BD=2，
∴OD=4，
∴B（-4，-2），
設直線AB的解析式為：y=kx，
把B（-4，-2）代入得：-4k=-2，
k=$\frac{1}{2}$，
∴直線AB的解析式為：y=2x；
（2）把B（-4，-2）代入y=$\frac{k}{x}$中得：k=-4×（-2）=8；
（3）如圖2，∵反比例函數的圖象是關于原點O的中心對稱圖形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四邊形APBQ是平行四邊形，
∴S_△POA=$\frac{1}{4}$S_{平行四邊形APBQ}=$\frac{1}{4}$×24=6，
設P（m，$\frac{8}{m}$）（m＞0，且m≠4），
分別過P、A作x軸的垂線，垂足分別為E、F，則G（m，$\frac{m}{2}$），
∵B（-4，-2），
∴A（4，2），
∴OF=4，
PG=$\frac{8}{m}$-$\frac{m}{2}$，
∴S_△POA=S_△POG+S_△PAG=$\frac{1}{2}$PG•OE+$\frac{1}{2}$PG•EF=$\frac{1}{2}$PG•OF，
∴$\frac{1}{2}$×4（$\frac{8}{m}$-$\frac{m}{2}$）=6，
m²+6m-16=0，
（m+8）（m-2）=0，
m₁=-8（舍），m₂=2，
∴P（2，4）．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，考查了利用待定系數法求函數的解析式及中心對稱的性質，掌握反比例函數是中心對稱圖形，同時將平行四邊形的面積轉化為三角形的面積求解．