Question

【題目】已知，，按如圖1所示擺放，將OA、OC邊重合在直線MN上，OB、OD邊在直線MN的兩側；

(1)保持不動，將繞點O旋轉至如圖2所示的位置，則①= ；②= ；

(2)若按每分鐘的速度繞點O逆時針方向旋轉，按每分鐘的速度也繞點O逆時針方向旋轉，OC旋轉到射線ON上時都停止運動，設旋轉t分鐘，計算(用t的代數式表示)。

(3)保持不動，將繞點O逆時針方向旋轉，若射線OE平分，射線OF平分，求的大小；

Answer 1

【答案】(1)①150°；②30°；(2) 8t－60或2t+60；(3) ∠EOF的大小為15°或165°.

【解析】

（1）①根據∠AOB及∠COD的度數求出∠AOB+∠COD的度數，然后利用角與角之間的關系進行代換化簡即可；

②根據∠AOB及∠COD的度數求出∠AOB－∠COD的度數，然后利用角與角之間的關系進行代換化簡即可；

（2）分情況討論：OD與OA相遇前及OD與OA相遇后，畫出圖形，再根據角與角之間的關系進行計算即可；

（3）分情況討論，根據角與角之間的關系進行計算即可.

解：(1)①∵∠AOB=90°，∠COD=60°，

∴∠AOB+∠COD=90°+60°=150°，

∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠AOC+∠AOD，

∴∠AOC+∠BOC+∠AOC+∠AOD=150°，

∴∠AOC+∠BOD=150°；

②∵∠AOB=90°，∠COD=60°，

∴∠AOB－∠COD=90°－60°=30°，

∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠AOC+∠AOD，

∴∠AOC+∠BOC－(∠AOC+∠AOD)=30°，

∴∠BOC－∠AOD=30°；

(2)設運動時間為t秒，由題意可知：0<t≤36，∠MOC=5t，∠MOA=2t，

當OD與OA相遇時，5t－2t=60，解得：t=20，

∴經過20秒，OD與OA相遇，

①0<t≤20時，OD與OA相遇前，如圖所示，

∠AOD=∠COD+∠AOM－∠MOC=60+2t－5t=60－3t，

∴∠MOC－∠AOD=5t－(60－3t)=8t－60；

②20<t≤36時，OD與OA相遇后，如圖所示，

∠AOD=∠MOC－∠COD－∠AOM=5t－60－2t=3t－60，

∴∠MOC－∠AOD=5t－(3t－60)=2t+60；

(3)設OC繞點O逆時針旋轉n°，則OD也繞點O逆時針旋轉n°，

①0<n°≤150°時，射線OE、OF在射線OB同側，在直線MN同側，

∵∠BOD=150°－n°，∠AOC=n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，

∴∠BOF=(150°－n°)，∠BOE=90°－n°，

∴∠EOF=∠BOE－∠BOF=15°；

②150°<n°≤180°時，射線OE、OF在射線OB異側，在直線MN同側，

∵∠BOD= n°－150°，∠AOC=n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，

∴∠BOF=(n°－150°)，∠BOE=90°－n°，

∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=15°；

③180°<n°≤330°時，射線OE、OF在射線OB異側，在直線MN異側，

∵∠BOD= n°－150°，∠AOC=360°－n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，

∴∠DOF=(n°－150°)，∠COE=(360°－n°)，

∴∠EOF=∠DOF+∠COD+∠COE=165°；

④330°<n°≤360°時，射線OE、OF在射線OB同側，在直線MN異側，

∵∠BOD=360°－(n°－150°)，∠AOC=360°－n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，

∴∠DOF=[360°－(n°－150°)]，∠COE=(360°－n°)，

∴∠EOF=∠DOF－∠COD－∠COE=15°；

綜上，∠EOF的大小為15°或165°.