Question

（2012•奉賢區三模）如圖，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外側作Rt△ABE和Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q，
（1）若Rt△ABE和Rt△ACF都是等腰三角形，直接寫出EP與FQ有怎樣的數量關系；
（2）若Rt△ABE和Rt△ACF中滿足AB=k AE，AC=k AF時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請探究EP與FQ有怎樣的數量關系？
（3）若Rt△ABE和Rt△ACF中滿足AB=k AE，AC=mAF時，連接EF交射線GA于點D，試探究ED與FD有怎樣的數量關系？

Answer 1

分析：（1）首先根據等腰直角三角形的性質得出AE=AB，∠PEA=∠BAG進而得出△PEA≌△GAB，得出PE=AG，同理可得出QF=AG，即可得出答案；
（2）首先根據對應角∠ABG=∠EAP，∠AGB=∠EPA=90°，得出△ABG∽△EAP，進而得出△ACG∽△FAQ，即可得出

AG

EP

=

AG

FQ

求出EP=FQ；
（3）由（2）可知：

AB

EA

=k，

AC

FA

=m，進而得出

EP

FQ

=

m

k

，再利用平行線性質得出ED與FD的數量關系．

解答：解：（1）結論：EP=FQ．
理由：∵∠EAB=90°，
∴∠EAP+∠BAG=90°，
∵∠PEA+∠PAE=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
在△PEA和△GAB中，

∠EPA=∠AGB ∠AEP=∠BAG EA=AB

，
∴△PEA≌△GAB（AAS），
∴PE=AG，
∴同理可得出：QF=AG，
∴EP=FQ．

（2）結論：EP=FQ．
理由：∵四邊形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°．
∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴

AG

EP

=

AB

EA

．
∵AB=kAE，∴

AG

EP

=k，
同理△ACG∽△FAQ，
∴

AG

FQ

=

AC

FA

=k，
∴

AG

EP

=

AG

FQ

．
∴EP=FQ．

（3）結論：

ED

FD

=

m

k

．
由（2）可知：
∴

AB

EA

=k，

AC

FA

=m
∴

AG

EP

=k，

AG

FQ

=m．
∴

EP

FQ

=

m

k

，
∵EP⊥GA，FQ⊥GA，
∴EP∥FQ．
∴

ED

FD

=

EP

FQ

=

m

k

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，根據已知得出△ABG∽△EAP進而得出線段之間關系是解題關鍵．