Question

6．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，∠BAC=90°，DF∥AB，交AC于F，∠DCE=30°，AB=DC=5，BC=13，求AC的長和四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，再在Rt△DFC中，用含30°的直角三角形的性質求出DF，最后用面積的和即可求出結論．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=5，BC=13，
根據勾股定理得，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=12，
∵DF∥AB，
∴∠AFD=∠BAC=90°，
∴∠DFC=90°，
在Rt△DFC中，∠DCE=30°，DC=5，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5}{2}$，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•AB+$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$×12×5+$\frac{1}{2}$×12×$\frac{5}{2}$=45．
即：AC的長為12，四邊形ABCD的面積為45．

點評 此題主要考查了勾股定理，含30°的直角三角形的性質，平行線的性質，不規則圖形的面積的計算方法，三角形的面積公式，解本題的關鍵是求出AC和DF．