Question

（2013年廣東梅州10分）如圖，已知拋物線y=2x²﹣2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）寫出以A，B，C為頂點的三角形面積；

（2）過點E（0，6）且與x軸平行的直線l₁與拋物線相交于M、N兩點（點M在點N的左側），以MN為一邊，拋物線上的任一點P為另一頂點做平行四邊形，當平行四邊形的面積為8時，求出點P的坐標；

（3）過點D（m，0）（其中m＞1）且與x軸垂直的直線l₂上有一點Q（點Q在第一象限），使得以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似，求線段QD的長（用含m的代數式表示）．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵y=2x²﹣2，∴當y=0時，2x²﹣2=0，x=±1。

∴點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（1，0），AB=2。

又當x=0時，y=﹣2，∴點C的坐標為（0，﹣2），OC=2。

∴S_△ABC=AB•OC=×2×2=2。

（2）將y=6代入y=2x²﹣2，得2x²﹣2=6，x=±2，

∴點M的坐標為（﹣2，6），點N的坐標為（2，6），MN=4。

∵平行四邊形的面積為8，∴MN邊上的高為：8÷4=2。

∴P點縱坐標為6±2。

①當P點縱坐標為6+2=8時，2x²﹣2=8，x=±。

∴點P的坐標為（，8）或（，8）。

②當P點縱坐標為6﹣2=4時，2x²﹣2=4，x=±，

∴點P的坐標為（，4）或（，4）。

                 綜上所述，當平行四邊形的面積為8時，點P的坐標為（，8）或（，8）或（，4）或（，4）。

   （3）∵點B的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，﹣2），∴OB=1，OC=2。

∵∠QDB=∠BOC=90°，

∴以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似時，分兩種情況：

①OB與BD邊是對應邊時，△OBC∽△DBQ，則，即，

解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2。

②OB與QD邊是對應邊時，△OBC∽△DQB，則，即，

解得。

綜上所述，線段QD的長為2m﹣2或。

 

【解析】（1）在二次函數的解析式y=2x²﹣2中，令y=0，求出x=±1，得到AB=2，令x=0時，求出y=﹣2，得到OC=2，然后根據三角形的面積公式即可求出△ABC的面積。

（2）先將y=6代入y=2x²﹣2，求出x=±2，得到點M與點N的坐標，則MN=4，再由平行四邊形的面積公式得到MN邊上的高為2，則P點縱坐標為8或4．分兩種情況討論：①當P點縱坐標為8時，將y=8代入y=2x²﹣2，求出x的值，得到點P的坐標；②當P點縱坐標為4時，將y=4代入y=2x²﹣2，求出x的值，得到點P的坐標。

（3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似時，分兩種情況討論：①OB與BD邊是對應邊，②OB與QD邊是對應邊兩種情況，根據相似三角形對應邊成比例列式計算求出QD的長度即可。

考點：二次函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，三角形的面積公式，平行四邊形的判定，相似三角形的判定，分類思想的應用。