Question

【題目】如圖，A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三點在拋物線y＝ax2+bx+c上，D為直線BC上方拋物線上一動點，E在CB上，∠DEC＝90°

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖1，求線段DE長度的最大值；

（3）如圖2，F為AB的中點，連接CF，CD，當△CDE中有一個角與∠CFO相等時，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）；（3）或.

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得DM，根據相似三角形的判定與性質，可得DE的長，根據二次函數的性質，可得答案；

（3）根據正切函數，可得∠CFO，根據相似三角形的性質，可得GH，BH，根據待定系數法，可得CG的解析式，根據解方程組，可得答案.

解：（1）由題意，得，

解得，

拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+x+3；

（2）設直線BC的解析是為y＝kx+b，，

解得，

∴y＝﹣x+3，

設D（a，﹣a2+a+3），（0＜a＜4），過點D作DM⊥x軸交BC于M點，

如圖1，

M（a，﹣a+3），

DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，

∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，

∴△DEM∽△BOC，

∴，

∵OB＝4，OC＝3，

∴BC＝5，

∴DE＝DM

∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，

當a＝2時，DE取最大值，最大值是，

（3）假設存在這樣的點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等，

∵點F為AB的中點，

∴OF＝，tan∠CFO＝＝2，

過點B作BG⊥BC，交CD的延長線于G點，過點G作GH⊥x軸，垂足為H，

如圖2

，

①若∠DCE＝∠CFO，

∴tan∠DCE＝＝2，

∴BG＝10，

∵△GBH∽BCO，

∴，

∴GH＝8，BH＝6，

∴G（10，8），

設直線CG的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得，

∴直線CG的解析式為y＝x+3，

∴，

解得x＝，或x＝0（舍）．

②若∠CDE＝∠CFO，

同理可得BG＝，GH＝2，BH＝，

∴G（，2），

同理可得，直線CG的解析是為y＝﹣x+3，

∴，

解得x＝或x＝0（舍），

綜上所述，存在點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等，點D的橫坐標為或．