Question

如果方程（x-a）（x-b）=1的兩根為α，β．那么方程（x-α）（x-β）=-1的兩根的平方和為（ ）
A．a(chǎn)²+b
B．a(chǎn)+b²
C．a(chǎn)²+b²
D．a(chǎn)²+b+b²

Answer 1

【答案】分析：由于方程（x-a）（x-b）=1的兩根為α、β，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β、αβ的值，再設(shè)x₁、x₂是方程（x-α）（x-β）=-1的兩個(gè)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=α+β=a+b，x₁x₂=αβ+1=ab，最后結(jié)合完全平方公式可求x₁²+x₂²的值．
解答：解：∵（x-a）（x-b）=1，
∴x²-（a+b）x+ab-1=0，
∴α+β=a+b，αβ=ab-1，
方程（x-α）（x-β）=-1整理可得x²-（α+β）x+αβ+1=0，
若x₁、x₂是方程（x-α）（x-β）=-1的兩個(gè)根，那么
x₁+x₂=α+β=a+b，x₁x₂=αβ+1=ab，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（a+b）²-2ab=a²+b²，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是先求出α+β和αβ的值，再進(jìn)行代換．