Question

10．如圖，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC的中點，P是BC上任意一點，且PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求證：DE=DF．

Answer 1

分析 連接AD，易證AF=BE，∠B=∠DAF，即可證明△BED≌△AFD，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可解題．

解答 解：連接AD，

∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點，
∴APD=BD，∠B=∠CAD=45°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四邊形AFPE是矩形，△BEP是等腰直角三角形，
∴AF=PE，BE=PF，
∴AF=BE，
在△BED和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠B=∠DAF}\\{BE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△AFD（SAS），
∴DE=DF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、矩形的判定和性質等知識，本題中求證△BFP≌△AEP是解題的關鍵，屬于中考常考題型．