Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，A（8，0），點B在第一象限，△OAB為等邊三角形，OC⊥AB，垂足為點C．
（1）直接寫出點C的橫坐標6；
（2）作點C關于y軸的對稱點D，連DA交OB于E，求OE的長；
（3）P為y軸上一動點，連接PA，以PA為邊在PA所在直線的下方作等邊△PAH．當OH最短時，求點H的橫坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示：過點B作BF⊥OA，垂足為F．由等腰三角形三線合一的性質可知OF=AF=4、BC=AC，由等邊三角形的性質可知：∠BOF=60°，由特殊銳角三角函數值可知；FB=4$\sqrt{3}$，從而得到點B的坐標為（4，4$\sqrt{3}$），由中點坐標公式可知點C的坐標為（6，2$\sqrt{3}$）；
（2）方法1：設OB的解析式為y=kx，將點B的坐標代入得：k=$\sqrt{3}$，于是得到直線OB的解析式為y=$\sqrt{3}x$．由關于y軸對稱的點的坐標特點可求得點D的坐標，然后依據待定系數法可求得直線AD的解析式為y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}x+\frac{8\sqrt{3}}{7}$．將y=$\sqrt{3}x$代入y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}x+\frac{8\sqrt{3}}{7}$可求得點E的坐標為（1，$\sqrt{3}$）．由兩點間的距離公式可知：OE=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2；
方法2：連接CD，交OB于F．由關于y軸對稱對稱的點坐標坐標特點可知：CD∥OA，D（-6，2$\sqrt{3}$），從而得到DC=12，由題意可知△BCF為等邊三角形，從而得到CF=4，然后可求得DF=12-4=8=OA，依據AAS可證明△DEF≌△AEO（AAS），由全等三角形的性質可知OE=EF，從而可求得OE=2；
 （3）如圖3，連接PB．依據SAS可證明△HAO≌△PAB，由全等三角形的性質可知：OH=PB，由垂線段最短的性質可知：當BP⊥y軸時，PB有最小值為4，由PB⊥y軸可知∠AOH=∠ABP=120°，從而得到∠COH=60°，過點H作HC⊥x軸于C，由OH=4，∠COH=60°，可求得OC=2．

解答 解：（1）如圖1所示：過點B作BF⊥OA，垂足為F．

∵OB=AB，BF⊥OA，
∴OF=AF=4．
∵△OAB為等邊三角形，
∴∠BOF=60°．
∴FB=OBsin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
∴點B的坐標為（4，4$\sqrt{3}$）．
∵AO=OB，OC⊥AB，
∴BC=AC．
由中點坐標公式可知點C的坐標為（6，2$\sqrt{3}$）．
故答案為：6．
（2）方法1：設OB的解析式為y=kx，將點B的坐標代入得：4k=4$\sqrt{3}$，
解得：k=$\sqrt{3}$．
∴直線OB的解析式為y=$\sqrt{3}x$．
∵點C與點D關于y軸對稱，
∴點D的坐標為（-6，2$\sqrt{3}$）．
設DA的解析式為y=k₁x+b．將點A和點D的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8{k}_{1}+b=0}\\{-6{k}_{1}+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：k₁=-$\frac{\sqrt{3}}{7}$，b=$\frac{8\sqrt{3}}{7}$．
∴直線DA的解析式為y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}x+\frac{8\sqrt{3}}{7}$．
將y=$\sqrt{3}x$代入y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}x+\frac{8\sqrt{3}}{7}$得：$\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{3}}{7}x=\frac{8\sqrt{3}}{7}$．
解得：x=1．
∴y=$\sqrt{3}$．
∴點E的坐標為（1，$\sqrt{3}$）．
由兩點間的距離公式可知：OE=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．
方法2：如圖2所示：連接CD，交OB于F．

∵點C與點D關于y軸對稱，
∴CD∥OA，點D（-6，2$\sqrt{3}$）．
∴△BCF為等邊三角形，
∴CF=4，CD=12．
∴DF=12-4=8=OA．
在△DEF和△AEO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DFE=∠AOE\\∠DEF=∠AEO\\ DF=AP\end{array}\right.$
∴△DEF≌△AEO（AAS），
∴OE=EF=$\frac{1}{2}$OF，
∵BF=BC=4，
∴OF=4，
∴OE=2．
 （3）如圖3，連接PB．

∵∠HAO+∠PAO=∠BAP+∠PAO=60°，
∴∠HAO=∠PAB，
在△HAO和△PAB中，
$\left\{\begin{array}{l}AH=AP\\∠HAO=∠PAB\\ OA=BA\end{array}\right.$
∴△HAO≌△PAB（SAS），
∴OH=PB，
當BP⊥y軸時，PB有最小值為4，此時，∠AOH=∠ABP=120°，
∴∠COH=60°
過點H作HC⊥x軸于C，
∵OH=4，∠COH=60°，
∴OC=2，即H點橫坐標為-2．

點評 本題主要考查的是一次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數的解析式、全等三角形的性質和判定、特殊銳角三角函數、垂線段的性質、等邊三角形的性質，證得當BP⊥y軸時，OH有最小值是解題的關鍵．