Question

（2009•黃岡模擬）對口扶貧活動中，為了盡快脫貧（無債務）致富，企業甲將經營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優惠價格轉讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型殘疾人企業乙，并約定從該店經營的利潤中，首先保證企業乙的全體職工每個月最低的生活費的開支3600元后，逐步償還轉讓費（不計息），在甲提供的材料中有：①這種消費品的進價每件14元；②該店月銷量Q（百件）與銷售價格P（元）的關系如圖；③每月需各種開支2000元．
（1）為使該店剛好能夠維持職工生活，商品的價格應定為多少？
（2）當商品的價格每件多少元時，月利潤和除職工最低生活費的余額最大并求出最大值．
（3）企業乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？

Answer 1

【答案】分析：（1）如果使該店剛好能夠維持職工生活，那么該店經營的利潤只能保證企業乙的全體職工每個月最低的生活費的開支3600元以及每月所需的各種開支2000元，據此列出方程，從而確定商品的價格；
（2）設月利潤和除職工最低生活費的余額為L，列出L與售價P的函數關系式，根據函數性質求出L取最大值時，自變量P的值，從而確定商品的價格；
（3）企業乙脫貧即還清5.8萬元的轉讓價格和5萬元的無息貸款，要求最早脫貧時間，由上問P的值，根據題意設可在n年后脫貧，則此n年經營的利潤≥50000+58000，求出n的最小值，得出結果．
解答：解：（1）根據圖象，當14≤P≤20時，
設Q=kP+b，把（14，22），（20，10）代入，得，
解得，
則Q=-2P+50；
當20≤P≤26時，
設Q=mP+n，把（20，10），（26，1）代入，得，
解得，
則Q=-1.5P+40，
即Q=，
若商品的價格應定為P元時，該店剛好能夠維持職工生活，
則有100（P-14）Q=3600+2000，分兩種情況：
第一種：當14≤P≤20時，即100（P-14）（-2P+50）=5600，解得P₁=18，P₂=21（不合題意，舍去）；
第二種：當20≤P≤26時，即100（P-14）（-1.5P+40）=5600，解得P₁=22，P₂=（不合題意，舍去）．
答：為使該店剛好能夠維持職工生活，商品的價格應定為18元或22元．

（2）設月利潤和除職工最低生活費的余額為L，則L=100（P-14）Q-2000．分兩種情況：
第一種：當14≤P≤20時，即L=100（P-14）（-2P+50）-3600=-200P²+7800P-72000，
則當P==19.5時，L有最大值，
此時L=-3600=4050-2000=4050；
第二種：當20≤P≤26時，即100（P-14）（-1.5P+40）-2000=-150P²+6100P-58000，
則當P==時，L有最大值，
此時L=-3600=4016-2000=2016．
因為4050＞2016，
所以當P=19.5元時，月利潤最大，為4050元．

（3）設可在n年后脫貧，由題意有
12n（4050-3600）≥50000+58000，
解得n≥20，即最早在20年后脫貧．
點評：本題是一道綜合題，難度較大．重點考查了一次函數圖象和實際應用相結合的問題，能夠從圖象上準確地獲取信息，本題中Q與P的關系是分段的，要注意對應，這是做本題的關鍵．