Question

已知：E是邊長為1的正方形ABCD對角線BD上一動點，點E從D點向B點運動（與點B、D不重合），過點E的直線MN平行于DC，交AD于點M，交BC于點N，EF⊥AE于點E，交CB（或CB的延長線）于點F．
（1）如圖甲，線段EM與FN之間有怎樣的大小關系？請證明你的結論．
（2）點E在運動的過程中（圖甲、圖乙），四邊形AFNM的面積是否發生變化？請說明理由．

Answer 1

解：（1）EM=FN
證明如下：
∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，且MN∥DC，
∴四邊形AMNB和四邊形MNCD都是矩形，∠MDE=45°，∠NBE=45°，
∴△MED和△NBE都是等腰直角三角形．
∴∠AME=∠ENF=90°，AM=BN=NE．
∴∠EFN+∠FEN=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEM+∠FEN=90°，
∴∠EFN=∠AEM，
∴△AME≌△ENF．
∴EM=FN
（2）四邊形AFNM的面積沒有發生變化，
①當點E運動到BD中點時，
四邊形AFNM是矩形，S_{四邊形AFNM}=，
②當點E不在BD的中點時，點E在運動（與點B、D不重合）的過程中，
四邊形AFNM是直角梯形．
由（1）知，在圖甲中，△AME≌△ENF．
同理，在圖乙中，△AME≌△ENF．
∴ME=FN，AM=EN，
∴AM+FN=MN=DC=1，
不論在圖甲或圖乙中，這時S_{四邊形AFNM}=（AM+FN）•MN=×1×1=，
綜合①、②可知四邊形AFNM的面積是一個定值．
分析：（1）根據四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，且MN∥DC，求證△MED和△NBE都是等腰直角三角形，又利用EF⊥AE，可得∠EFN=∠AEM，然后即可求證△AME≌△ENF，得出EM和FN的之間的關系；
（2）分兩種情況進行討論：①當點E運動到BD的中點時，利用四邊形AFHG是矩形，可得S_{四邊形AFNM}=；②當點E不在BD的中點時，點E在運動（與點B、D不重合）的過程中，四邊形AFNM是直角梯形．由圖甲知，△AME≌△ENF，同理，圖乙知，△AME≌△ENF，可得，S_{四邊形AFNM}=（AM+FN）•MN=×1×1=，然后即可得出結論．
點評：此題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質等知識點的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題．