Question

（2013•株洲）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分可得AO=CO，對(duì)邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等；
（2）根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的長(zhǎng)，再求出EF的長(zhǎng)，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，

∠OAE=∠OCF AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，
∴∠DAO=

1

2

∠BAD=

1

2

×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∴∠AEF=180°-∠DAO-∠AOE=180°-30°-60°=90°，
∵菱形的邊長(zhǎng)為2，∠DAO=30°，
∴OD=

1

2

AD=

1

2

×2=1，
∴AO=

AD2-OD2

=

22-12

=

3

，
∴AE=CF=

3

×

3

2

=

3

2

，
∵菱形的邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，
∴高EF=2×

3

2

=

3

，
在Rt△CEF中，CE=

EF2+CF2

=

( 3 2 )2+( 3 )2

=

21

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，（2）求出△CEF是直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．