Question

2．如圖，在等邊△ABC中，DB=2，∠DCB=45°，則CD=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 過點D作DE⊥BC于點E，由∠DCB=45°可知△CDE為等腰直角三角形，設DE=a，則CE=a，CD=$\sqrt{2}$a，通過解直角三角形找出線段BE的長度，結合BC=BE+EC=2，即可得出關于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值，由此即可得出結論．

解答 解：過點D作DE⊥BC于點E，如圖所示．

∵DE⊥BC，∠DCE=45°，
∴△CDE為等腰直角三角形，
設DE=a，則CE=a，CD=$\sqrt{2}$a．
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°．
在Rt△BDE中，∠B=60°，∠BED=90°，DE=a，
∴BE=DE•cot∠B=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
∵BC=BE+EC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+a=2，即$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$a=2，
解得：a=3-$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{2}$a=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、解直角三角形以及解一元一次方程，解題的關鍵是求出線段DE的長度．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據等邊三角形的性質找出角的度數，再通過解直角三角形求出邊的長度是關鍵．