Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線,MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E。

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時(shí)，求證：DE＝AD＋BE；

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，求證：DE＝AD－BE；

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系，并證明

Answer 1

【答案】(1)DE =AD＋BE(2)DE=AD-BE,(3)DE=BE-AD.

【解析】

(1)根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN,利用同角的余角相等,證明∠BCE=∠DAC,進(jìn)而證明△ADC≌△CEB（AAS）即可解題,

(2) 根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN,利用同角的余角相等,證明∠BCE=∠DAC, 由此仍然可以證明△ADC≌△CEB（AAS）,然后利用全等三角形的性質(zhì)也可以解決問(wèn)題,
(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時(shí),仍然可以證明△ADC≌△CEB（AAS）,然后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到DE=BE-AD.

解:(1)在△ABC中,∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,
又直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E,

∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠DAC=90°,
∴∠BCE=∠DAC,

∵AC=BC
∴△ADC≌△CEB（AAS）

∴CD=BE,AD=CE,

∴DE＝CD+CE=AD＋BE
(2) 在△ABC中,∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,
又直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E,

∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠CAD=90°,

∴∠CAD=∠BCE,

∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE（AAS）

∴CD=BE, AD=CE
∴DE=CE-CD=AD-BE,
(3)如圖3, 在△ABC中,∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,
又直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E,

∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠CAD=90°,

∴∠CAD=∠BCE,

∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE（AAS）

∴CD=BE,AD=CE,

∴DE=CD-CE=BE-AD
∴DE、AD、BE之間的關(guān)系為DE= BE-AD.