Question

【題目】如圖，已知△ABC是⊙O的內接三角形，AB為⊙O的直徑，OD⊥AB于點O，且∠ODC=2∠A．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AB=6，tan∠A=，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4.

【解析】分析：（1）連接OC，求出∠ODC=∠B，求出∠OCD=90°，根據切線的判定得出即可；

（2）過點C作CH⊥AB于點H，解直角三角形求出BC，解直角三角形求出CH和BH，證Rt△DOC∽Rt△OCH，得出比例式，即可求出答案．

（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∴∠BOC=2∠A，

又∵∠ODC=2∠A，

∴∠ODC=∠BOC，

∵OD⊥AB，即∠BOC+∠COD=90°，

∴∠ODC+∠COD=90°，

∴∠OCD=90°，

即CD⊥OC，

又∵OC是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）如圖，過點C作CH⊥AB于點H，

∵AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，

∴∠ACB=90°，

又∵∠CBH=∠ABC，

∴∠BCH=∠A，

在Rt△ABC中，AB=6，tan∠A=，

設BC=x，則AC=3x，由勾股定理得：x2+（3x）2=62，

解得：x2=，

即BC2=，

又在Rt△BCH中，tan∠BCH=，

BH2+CH2=BC2，

即BH2+（3BH）2=，

解得：BH=CH=，

∵OB=OC=3，

∴OH=，

又∵Rt△DOC∽Rt△OCH，

∴，

則CD==3×÷=4．