Question

【題目】已知，在ABC 中， BAC 90， AB AC ，點 D 為直線 BC 上的一動點（點 D 不與點 B 、C 重合）. 以 AD 為邊作正方形 ADEF ，連接CF .

（1）如圖 1，當點 D 在線段 BC 上時，求證： BD CF ；

（2）如圖 2，當點 D 在線段 BC 的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF 、 BC 、CD 三條線段之間的數量關系；

（3）如圖 3，當點 D 在線段 BC 的反向延長線上時，且點 A 、 F 分別在直線 BC 的兩側，其他條件不變， 若正方形 ADEF 的邊長為 2 ，對角線 AE 、 DF 相交于點O ，連接OC ，求OC 的長度.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CF=BC+CD；（3）OC=.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形與正方形的性質，通過“邊角邊”證明△BAD≌△CAF，則BD=CF；

（2）同理（1）通過“邊角邊”證明△BAD≌△CAF，則BD=CF，可得CF=BC+CD；

（3）同上通過“邊角邊”證明△BAD≌△CAF，得到∠ACF=∠ABD=∠BAC+∠BCA，則∠DCF=90°，在Rt△DCF中OC是斜邊上的中線，則OC=DF，然后根據正方形的邊長求得其對角線的長即可得到答案.

解：（1）∵四邊形ADEF是正方形，

∴∠DAF=90°，AD=AF，

∵BAC 90，

∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAF+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

又∵AB=C，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF；

（2）∵四邊形ADEF是正方形，

∴∠DAF=90°，AD=AF，

∵BAC 90，

∴∠BAD=∠CAD+90°，∠CAF=∠CAD+90°，

∴∠BAD=∠CAF，

又∵AB=AC，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF=BC+CD；

（3）同理（1）易證△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ABD=∠ACF，

∵∠ABD=∠BAC+∠BCA，∠ACF=∠BCA+∠BCF，

∴∠BCF=∠BCA=90°，

則在Rt△DCF中，

∵DO=FO，

∴OC=DF，

∵正方形ADEF的邊長為2，

∴DF=2，

則OC=.