Question

已知關于x的二次方程ax²+bx+c=0沒有實數根，一位老師改動了方程的二次項系數后，得到的新方程有兩個根為12和4；另一位老師改動原來方程的某一個系數的符號，所得到的新方程的兩個根為-2和6，那么=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根據一位老師改動了方程的二次項系數后，得到的新方程有兩個根為12和4，求作一個符合條件的一元二次方程，即x²-16x+48=0，進而表示原方程是ax²-16kx+48k=0；再根據另一位老師改動原來方程的某一個系數的符號，所得到的新方程的兩個根為-2和6，求作一個符合條件的一元二次方程，即x²-4x-12=0，此方程兩邊同乘以4k，得4kx²-16kx-48k=0，從而得到a=4k，最后即可求解．
解答：解：利用新方程有兩個根為12和4構造1個一元二次方程為：x²-（12+4）x+12×4=0 即x²-16x+48=0，與ax²+bx+c=0對應．于是得到：b=-16k，c=48k．（其中k是不為0的整數．）
從而原方程為：ax²-16kx+48k=0．同樣再由另一個新方程的兩個根-2和6，構造一個方程：
x²-（-2+6）x+（-2）×6=0，
即x²-4x-12=0．
此方程兩邊同乘以4k，得 4kx²-16kx-48k=0，
它與ax²-16kx+48k=0對應，得 a=4k，從而原方程就是：4kx²-16kx+48k=0，所以==8．
故答案為8．
點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系，能夠根據已知的兩根求作一個一元二次方程．