Question

已知關于x的二次方程x²-2（a-2）x+a²-5=0的兩根為α、β，且αβ=2α+2β，則a=

 

，|α-β|=

 

．

Answer 1

分析：欲求|α-β|的值，先把此代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，再利用根與系數的關系可得：α+β=2（a-2），
αβ=a²-5，而αβ=2α+2β=2（α+β），a²-5=2[2（a-2）]，即可求得α的值，即可求得方程，解方程求得方程的兩根，從而求得|α-β|的值．

解答：解：由題意知，
α+β=2（a-2），
αβ=a²-5，
而αβ=2α+2β=2（α+β），
∴a²-5=2[2（a-2）]，
∴a²-4a+3=0，
解得：a₁=1，a₂=3．
又∵方程有兩根，
∴△=4（a-2）²+4（a²-5）=-16a+36≥0，
∴a≤

9

4

，
∴a₂=3舍去．
當a=1時，原方程化為：x²+2x-4=0，
解得，α=-1-

5

，β=-1+

5

，
∴|α-β|=2

5

．
故填空答案：1，2

5

．

點評：1、根與系數的關系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
2、將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．
3、一元二次方程有根，則△≥0．