Question

已知關于x的二次方程ax²+bx+c=0沒有實數根，甲由于看錯了二次項系數，誤求得兩根為1和4；乙由于看錯了某一項系數的符號，誤求得兩根為-2和6，則

b+2c

3a

的值為

 

．

Answer 1

分析：先利用兩根分別表示出錯誤的方程為：甲，設k（x-1）（x-4）=0得kx²-5kx+4k=0；乙，設p（x+2）（x-6）=0得px²-4px-12p=0，從方程中可以看出二次項和一次項的符號相同而常數項符號相反，所以無論怎么錯誤，甲和乙的方程里面常量只是符號相反，就是4k=12p，即

k

p

=3，把第一個方程中的一次項和常數項，第二個方程中的二次項代入所求代數式中化簡后可解．

解答：解：對于甲：設k（x-1）（x-4）=0
得kx²-5kx+4k=0．
對于乙：設p（x+2）（x-6）=0
得px²-4px-12p=0
從這兩個方程可看出：無論怎么錯誤，甲和乙的方程里面常量只是符號相反，
所以4k=12p即

k

p

=3，p=

k

3

則

b+2c

3a

=

-5k+2×4k

3p

=

3k

3p

=

3k

k

=3

點評：本題難度不小，需要利用方程的兩根來表示出兩個錯誤的方程，并通過比較后，得出初步判斷為無論怎么錯誤，甲和乙的方程里面常量只是符號相反這個關鍵的等量關系，然后通過等量代換求解．此題要求十分熟悉一元二次方程的特點，以及方程之間的關系．