Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），點B（3，0），交y軸于點C，給出下列結論：①a：b：c＝﹣1：2：3；②對于任意實數m，一定有am2+bm+a≤0；③元二次方程cx2+bx+a＝0的兩根為﹣1和，其中正確的結論是（　　）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

Answer 1

【答案】A

【解析】

本題考查一元二次函數的圖像性質.對于結論①，根據函數經過點A、B，將點的坐標代入函數，得出b＝﹣2a，c＝﹣3a，故可得出a、b、c之間的比例關系；對于結論②，先將函數解析式化為頂點式，求出頂點坐標，再將拋物線向下平移﹣4a個單位，則拋物線頂點為（1，0），最后求出平移后的解析式，繼而判斷其取值情況；對于結論③，方程cx2+bx+a＝0化為﹣3ax2﹣2ax+a＝0，整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，故可判斷其正誤.

解：∵二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），點B（3，0），

∴拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，

∴a：b：c＝﹣1：2：3，故①正確；

∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a[（x﹣1）2﹣4]＝a（x﹣1）2﹣4a，

∴頂點坐標為（1，﹣4a），

∵拋物線開口向下，c＝﹣3a，

∴拋物線向下平移﹣4a個單位，則拋物線頂點為（1，0），

∴平移后的解析式為：y′＝ax2+bx+c+4a＝ax2+bx﹣3a+4a＝ax2+bx+a≤0，故②正確；

∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，

∴方程cx2+bx+a＝0化為﹣3ax2﹣2ax+a＝0，

整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，所以③正確．

故選：A．