Question

11．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=6cm，直線CM⊥BC，動點D從點C開始以每秒2cm的速度運動到B點，動點E也同時從點C開始沿射線CM方向以每秒1cm的速度運動．
（1）問動點D運動多少秒時，△ABD≌△ACE，并說明理由；
（2）設動點D運動時間為x秒，請用含x的代數式來表示△ABD的面積S；
（3）動點D運動多少秒時，△ABD與△ACE的面積比為3：1．

Answer 1

分析 （1）設動點D運動t秒時，△ABD≌△ACE，先根據等腰直角三角形得：∠ACE=∠B，再加上AB=AC，所以只要滿足BD=CE，△ABD≌△ACE，列式可求得t的值；
（2）作高線AF，根據等腰直角三角形三線合一可知：AF是斜邊的中線，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得：AF=3，代入面積公式可求出代數式；
（3）作高線AG，先證明四邊形AFCG是矩形，求出AG=3，由△ABD與△ACE的面積比為3：1列式可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，設動點D運動t秒時，△ABD≌△ACE，
由題意得：CD=2t，CE=t，則BD=6-2t，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CM⊥BC，
∴∠BCM=90°，
∴∠ACE=90°-45°=45°，
∴∠ACE=∠B，
∴當BD=CE時，△ABD≌△ACE，
即6-2t=t，
t=2，
答：動點D運動2秒時，△ABD≌△ACE；
（2）如圖2，過A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AF是斜邊的中線，
∴AF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
由題意得：CD=2x，則BD=6-2x，
∴S=S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AF=$\frac{1}{2}$（6-2x）×3=-3x+9；
（3）設動點D運動x秒時，△ABD與△ACE的面積比為3：1，
如圖2，再過A作AG⊥CM于G，
∵∠AFC=∠BCM=∠AGC=90°，
∴四邊形AFCG是矩形，
∴AG=CF=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵△ABD與△ACE的面積比為3：1，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACE}}$=$\frac{\frac{1}{2}BD•AF}{\frac{1}{2}CE•AG}$=$\frac{3}{1}$，
∴$\frac{BD}{CE}$=3，
∴BD=3CE，
即6-2x=3x，
5x=6，
x=$\frac{6}{5}$，
∴動點D運動$\frac{6}{5}$秒時，△ABD與△ACE的面積比為3：1．

點評 本題考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質和判定以及動點問題，熟練掌握全等三角形的判定方法是關鍵，在動點問題中，明確路程=時間×速度，根據時間準確表示動點D和E的路程BD、CE的代數式，根據題中的等量關系列等式即可．