Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與坐標軸分別交于A、B兩點，過A、B兩點的拋物線為y=－x2+bx+c．點D為線段AB上一動點，過點D作CD⊥x軸于點C，交拋物線于點E．

（1）求拋物線的解析式．

（2）當DE=4時，求四邊形CAEB的面積．

（3）連接BE，是否存在點D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，直接寫出點D坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1） y=-x2-3x+4．（2）12.（3） （-3，1）或（-2，2）．

【解析】

試題分析：（1）首先求出點A、B的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）設點C坐標為（m，0）（m＜0），根據已知條件求出點E坐標為（m，8+m）；由于點E在拋物線上，則可以列出方程求出m的值．在計算四邊形CAEB面積時，利用S四邊形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB-S△BCO，可以簡化計算；

（3）由于△ACD為等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，則△DBE必為等腰直角三角形．分兩種情況討論，要點是求出點E的坐標，由于點E在拋物線上，則可以由此列出方程求出未知數．

試題解析：（1）在直線解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-4，

∴A（-4，0），B（0，4）．

∵點A（-4，0），B（0，4）在拋物線y=-x2+bx+c上，

∴ ，

解得：b=-3，c=4，

∴拋物線的解析式為：y=-x2-3x+4．

（2）設點C坐標為（m，0）（m＜0），則OC=-m，AC=4+m．

∵OA=OB=4，

∴∠BAC=45°，

∴△ACD為等腰直角三角形，

∴CD=AC=4+m，

∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，

∴點E坐標為（m，8+m）．

∵點E在拋物線y=-x2-3x+4上，

∴8+m=-m2-3m+4，解得m1=m2=-2．

∴C（-2，0），AC=OC=2，CE=6，

S四邊形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB-S△BCO

=×2×6+（6+4）×2-×2×4=12．

（3）設點C坐標為（m，0）（m＜0），則OC=-m，CD=AC=4+m，BD=OC=-m，則D（m，4+m）．

∵△ACD為等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似

∴△DBE必為等腰直角三角形．

i）若∠BED=90°，則BE=DE，

∵BE=OC=-m，

∴DE=BE=-m，

∴CE=4+m-m=4，

∴E（m，4）．

∵點E在拋物線y=-x2-3x+4上，

∴4=-m2-3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=-3，

∴D（-3，1）；

ii）若∠EBD=90°，則BE=BD=-m，

在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=-2m，

∴CE=4+m-2m=4-m，

∴E（m，4-m）．

∵點E在拋物線y=-x2-3x+4上，

∴4-m=-m2-3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=-2，

∴D（-2，2）．

綜上所述，存在點D，使得△DBE和△DAC相似，點D的坐標為（-3，1）或（-2，2）．

考點：二次函數綜合題．