Question

（12分）如圖1，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，將一塊與△ABC全等的三角板的直角頂點放在點C上，一直角邊與BC重疊．

（1）操作1：固定△ABC，將三角板沿方向平移，使其直角頂點落在BC的中點M，如圖2所示，探究：三角板沿方向平移的距離為___________；

（2）操作2：在（1）的情況下，將三角板BC的中點M順時針方向旋轉角度，如圖3所示，探究：設三角形板兩直角邊分別與AB、AC交于點P、Q，觀察四邊形MPAQ形狀的變化，問：四邊形MPAQ的面積S是否改變，若不變，求其面積；若改變，試說明理由；

（3）在（2）的情形下，連PQ，設BP=x，記△MPQ的面積為y，試求y關于x的函數關系式，并求x為何值時，y的值是四邊形MPAQ的面積的一半，此時，指出四邊形MPAQ的形狀．

 

Answer 1

（1）；（2）不變，1；（2），當時，MPAQ為正方形．

【解析】

試題分析：（1）M是BC的中點，三角板沿C→B方向平移的距離為CM，根據勾股定理可求BC，那么CM可求；

（2）連AM，分別證明△MAQ≌△MBP和△MAP≌△MCQ，那么四邊形MPAQ的面積S就是△ABC面積的一半；

（3）用四邊形MPAQ的面積減去△APQ可得△MPQ的面積，而AQ=PB=x，AP=2﹣x，據此列出y關于x的函數關系式，將函數值代入函數關系式可得自變量，根據自變量可以判斷四邊形MPAQ的形狀．

試題解析：（1）BC=，∴CM=BC=，故三角板沿C→B方向平移的距離為：；

（2）四邊形MPAQ的面積S不變，如圖，連AM，M是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，

∴AM=BM，而∠QMA=∠PMB=a，∠QAM=∠PBM=45°，∴△MAQ≌△MBP，

同理可得：△MAP≌△MCQ，

∴S四邊形MPAQ=S△MAQ+S△MAP=S△ABC=；

（3），如果y的值是四邊形MPAQ的面積的一半，

則有：，解得，．

當時，即BP=1，∵AB=2，∴AP=1，

∵y的值是四邊形MPAQ的面積的一半，∴△PAQ的面積=△PMQ的面積=，∴QA=1，

∵△MAQ≌△MBP，∴QM=MP，∴QM=MP=1，∴QM=MP=QA=AP=1，

∵∠PAQ=90°，∴四邊形MPAQ為正方形．

考點：1．旋轉的性質；2．全等三角形的判定與性質；3．正方形的判定；4．平移的性質．