Question

圖（1）是一個面積為1的黑色正三角形，順次連接它的三邊的中點，得到如圖（2）所示的第2個圖形（它的中間為一個白色的正三角形）；在圖（2）的每個黑色的正三角形中分別重復上述的作法，得到如圖（3）所示的第3個圖形．如此繼續作下去，則在得到的第5個圖形中，所有黑色三角形的面積和是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先將所給的圖②與圖③中的黑色三角形的面積和求出來，注意利用相似三角形的面積比等于相似比的平方．然后得到規律：第n個圖形中所有黑色三角形的面積和是：（）^n-1，代入即可求得．
解答：
解：∵D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，
∴，
∴△DEF∽△ABC，
∴=（）²=（）²，
∴S_△DEF=，
∴圖②中所有黑色三角形的面積和是：1-=，
同理：圖三中各黑色三角形的面積和為：1-×3-==（）²，
∴可得第n個圖形中所有黑色三角形的面積和是：（）^n-1．
∴在得到的第5個圖形中，所有黑色三角形的面積和是：（）⁴．
故答案為：（）⁴．
點評：此題考查了相似三角形的面積比等于相似比的平方．此題還考查了學生的分歸納能力．解題時要注意仔細分析．