Question

圖（1）是一個面積為1的正方形，經過第一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，如圖（2），經過第2次“生長”后變成圖（3），經過第3次“生長”后變成圖（4），如果繼續“生長”下去，它將變得更加“枝繁葉茂”，這就是美麗的“勾股樹”．已知“生長”后形成的圖形中所有正方形的面積和存在一定的變化規律，請你利用這一規律求經過第10次“生長”后的圖中所有正方形的面積和為：______．

Answer 1

圖（2）：設直角三角形的是三條邊分別是a，b，c．
根據勾股定理，得a²+b²=c²，
即：正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1；
所有正方形的面積之和為2=（1+1）×1；
圖（3）正方形E的面積+正方形F的面積=正方形A的面積，
正方形M的面積+正方形N的面積=正方形B的面積，
正方形E的面積+正方形F的面積+正方形M的面積+正方形N的面積
=正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1，
所有正方形的面積之和為3=（2+1）×1
…
推而廣之，“生長”了10次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（n+1）×1，
則：“生長”了10次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（10+1）×1=11．
故答案為：11．