Question

圖（1）是一個面積為1的黑色正三角形，順次連接它的三邊的中點，得到如圖（2）所示的第2個圖形（它的中間為一個白色的正三角形）；在圖（2）的每個黑色的正三角形中分別重復(fù)上述的作法，得到如圖（3）所示的第3個圖形．如此繼續(xù)作下去，則在得到的第5個圖形中，所有黑色三角形的面積和是

 

．

Answer 1

分析：首先將所給的圖②與圖③中的黑色三角形的面積和求出來，注意利用相似三角形的面積比等于相似比的平方．然后得到規(guī)律：第n個圖形中所有黑色三角形的面積和是：（

3

4

）^n-1，代入即可求得．

解答：
解：∵D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，
∴

DE

AC

=

EF

AB

=

DF

BC

 =

1

2

，
∴△DEF∽△ABC，
∴

S△DEF

S△ABC

=（

DE

AC

）²=（

1

2

）²，
∴S_△DEF=

1

4

，
∴圖②中所有黑色三角形的面積和是：1-

1

4

=

3

4

，
同理：圖三中各黑色三角形的面積和為：1-

1

16

×3-

1

4

=

9

16

=（

3

4

）²，
∴可得第n個圖形中所有黑色三角形的面積和是：（

3

4

）^n-1．
∴在得到的第5個圖形中，所有黑色三角形的面積和是：（

3

4

）⁴．
故答案為：（

3

4

）⁴．

點評：此題考查了相似三角形的面積比等于相似比的平方．此題還考查了學(xué)生的分歸納能力．解題時要注意仔細(xì)分析．