Question

圖（1）是一個面積為1的正方形，經過第一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，如圖（2）；經過第2次“生長”后變成圖（3），經過第3次“生長”后變成圖（4），如果繼續“生長”下去，它將變得更加“枝繁葉茂”，這就是美麗的“勾股樹”．已知“生長”后形成的圖形中所有正方形的面積和存在一定的變化規律，請你利用這一規律求：①經過第一次“生長”后的所有正方形的面積和為

2

，②經過第10次“生長”后，圖中所有正方形的面積和為：

11

．

Answer 1

分析：根據勾股定理，發現：經過一次生長后，兩個小正方形的面積和等于第一個正方形的面積，故經過一次生長后，所有正方形的積和等于2；依此類推，經過n次生長后，所有正方形的面積和等于第一個正方形的面積的（n+1）倍，進而得問題答案．

解答：解：設直角三角形的是三條邊分別是a，b，c．
根據勾股定理，得a²+b²=c²，
即正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1；
所有正方形的面積之和為2．
故答案為：2；
推而廣之，“生長”了10次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（10+1）×1=11．
故答案為：11．

點評：此題考查了正方形的性質，以及勾股定理，其中能夠根據勾股定理發現每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關系是解本題的關鍵．