Question

17． 如圖，已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象頂點在x軸上，且OA=1，與一次函數y=-x-1的圖象交于y軸上一點B和另一交點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D為線段BC上一點，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，交拋物線于點F，請求出線段DF的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據直線解析式求得點B坐標，由頂點A坐標設拋物線的頂點式，將點B坐標代入求解可得；
（2）令DF=W，根據DF=DE-EF可得W關于x的解析式，配方后根據x的范圍可得最值情況．

解答 解：（1）∵OA=1，
∴拋物線的頂點A的坐標為（1，0），
設拋物線解析式為y=a（x-1）²，
在直線y=-x-1中，當x=0時，y=-1，
則點B（0，-1），代入得：a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x-1）²=-x²+2x-1．

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-{x}^{2}+2x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
即點B（0，-1）、點C（3，-4），
∴0＜x＜3，
令DF=W，
則W=-（-x-1）-[-（-x²+2x-1）]=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，W_最大值=$\frac{9}{4}$，
即線段DF的最大值$\frac{9}{4}$．

點評 本題主要考查待定系數求二次函數解析式、一次函數和二次函數圖象上點的坐標特征及直線與拋物線相交問題，熟練掌握待定系數求函數解析式是解題的關鍵．