Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點分別在軸和軸的正半軸上，頂點的坐標為（4,2），的垂直平分線分別交于點，過點的反比例函數的圖像交于點．

（1）求反比例函數的表示式；

（2）判斷與的位置關系，并說明理由；

（3）連接，在反比例函數圖像上存在點，使，直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數表達式為；（2），證明見解析；（3）．

【解析】

（1）求出點橫坐標，也就是.由垂直平分，得到,,

,在，,求出,從而求出.

（2）方法一:通過邊長關系可證,為公共角,從而,,;

方法二:求出直線與直線的解析式，系數相等,所以

方法三: 延長交軸于點,證明,四邊形是平行四邊形, .

（3）求出,根據,設,代入點坐標，求得,與聯立,求出的坐標.

（1）連接，

∵垂直平分，∴．

∵，∴．

設，則，

∵四邊形矩形，

∴，．

在中，

．即 ．解得．

∴點．

將點的坐標代入中，得．

∴所求反比例函數表達式為．

（2）．

方法一：將代入得，，∴點．

∵，，，，

∴，，，．

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

方法二：將代入得，，∴點．

由（1）知，，．

設直線的函數表達式為，∵點在直線上，∴，∴．

∴設直線的函數表達式為．

設直線的函數表達式為，∵點在直線上，

∴ 解得

∴直線的函數表達式為．

∵直線與直線的值為，∴直線與直線平行．

∴．

方法三：延長交軸于點，

設直線的函數表達式為，∵點在直線上，

∴ 解得

∴直線的函數表達式為．

將代入中，得．∴點．

∴，．

∴．

∵四邊形矩形，

∴．

∴四邊形是平行四邊形．

∴．

（3）．