Question

已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，點F從點M出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連接PF，過點PE⊥PF交y軸于點E，設點F運動的時間是t秒（t＞0）

（1）若點E在y軸的負半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；

（2）在點F運動過程中，設OE=a，OF=b，試用含a的代數式表示b；

（3）作點F關于點M的對稱點F′，經過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，連接QE．在點F運動過程中，是否存在某一時刻，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解答：   

證明：（1）如圖，連接PM，PN，

∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，

∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，

∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，

∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，

在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），

∴PE=PF，

（2）解：①當t＞1時，點E在y軸的負半軸上，如圖，

由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，

∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，

②0＜t≤1時，如圖2，點E在y軸的正半軸或原點上，

同理可證△PMF≌△PNE，

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，

∴b+a=1+t+1﹣t=2，

∴b=2﹣a，

（3）如圖3，（Ⅰ）當1＜t＜2時，

∵F（1+t，0），F和F′關于點M對稱，

∴F′（1﹣t，0）

∵經過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，

∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，

由（1）得△PMF≌△PNE

∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1

當△OEQ∽△MPF∴=∴=，

解得，t=，當△OEQ∽△MFP時，∴=，

=，解得，t=，

（Ⅱ）如圖4，當t＞2時，

∵F（1+t，0），F和F′關于點M對稱，

∴F′（1﹣t，0）

∵經過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，

∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，

由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1

當△OEQ∽△MPF∴=∴=，無解，

當△OEQ∽△MFP時，∴=，=，解得，t=2±，

所以當t=，t=，t=2±時，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似．