Question

已知四邊形ABCD，以此四邊形的四條邊為邊向外分別作正方形，順次連接這四個正方形的對角線交點E，F，G，H，得到一個新四邊形EFGH．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，則四邊形EFGH______（填“是”或“不是”）正方形；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是矩形，則（1）中的結論______（填“能”或“不能”）成立；
（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，其他條件不變，判斷（1）中的結論是否還成立？若成立，證明你的結論，若不成立，請說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）（2）連接EG，FH，可證明EG與FH平分垂直且相等；
（3）連接EF、FG、GH、HE、AE、AH、DG、DH，由四邊形ABCD是平行四邊形，得AH=DH，再證明△HDG≌△HAE，則HG=HE且∠EHA=∠GHD，同理可證HE=EF=FG，即可得出四邊形EFGH是菱形．又因為點H是正方形的對角線的交點，則∠EHG=90°，即可證明四邊形EFGH是正方形．
解答：解：（1）是；
連接EG，FH，

∵E，F，G，H分別是四個正方形對角線的交點，
∴EG與FH平分、垂直且相等，
∴四邊形EFGH 是正方形；

（2）能；
連接EG，FH，

∵E，F，G，H分別是四個正方形對角線的交點，
∴EG與FH平分，EG=FH，EG⊥FH，
∴四邊形EFGH 是正方形；

（3）證明：連接EF、FG、GH、HE、AE、AH、DG、DH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，
即以ABCD為邊的正方形的對角線也相等，
∵點E、G是上述兩個正方形的對角線的交點，
∴AH=DH，
易知∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG+45°=90°+∠ADC，
∵平行四邊形ABCD中，有∠BAD=180°-∠ADC，
∴∠HAE=360°-（∠HAD+∠BAD+∠BAE）=360°-[45°+（180°-∠ADC）+45°]=90°+∠ADC，
∴∠HDG=∠HAE，
∴△HDG≌△HAE，
∴HG=HE且∠EHA=∠GHD，
同理可證HE=EF=FG，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵點H是正方形的對角線的交點，
∴∠AHD=90°，即∠AHG+∠GHD=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．

點評：本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定以及平行四邊形、矩形的性質，是一道綜合性的題目，難度不大，要熟練掌握．