Question

13．已知△ABC的兩邊AB、AC （AB≤AC）的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊長(zhǎng)為5．
（1）當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用含k的代數(shù)式表示出AB，、AC的和與積，利用AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC，由于第三邊的長(zhǎng)BC=5，得到關(guān)于k的方程，求出k的值；
（2）用含k的代數(shù)式表示出AB、AC，當(dāng)AB=5時(shí)，求出△ABC的周長(zhǎng)；當(dāng)AC=5時(shí)，求出△ABC的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵AB、AC （AB≤AC）的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴AB+AC=2k+1，AB•AC=k²+k
∴AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC
=[-（2k+1）]²-2（k²+k）
=4k²+4k+1-2k²-2k
=2k²+2k+1
若△ABC是以BC=5為斜邊的直角三角形，
∴AB²+AC²=5²
即2k²+2k+1=25
∴k²+k-12=0
∴k₁=3，k₂=-4（不合題意，舍去）
即當(dāng)k=3時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．
（2）因?yàn)閤²-（2k+1）x+k²+k=0，
即（x-k-1）（x-k）=0
∴x₁=k+1，x₂=k
若k=5，所以k+1=6，此時(shí)l_△ABC=5+5+6=16，
若k+1=5，所以k=4，此時(shí)l_△ABC=5+5+4=14．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、一元二次方程及等腰三角形的相關(guān)知識(shí)．解決本題的關(guān)鍵是應(yīng)用完全平方公式的變形求出AB²+AC²．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．