Question

【題目】在直徑為AB的半圓內，劃出一塊三角形區域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現要建造一個內接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖24-94的設計方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的邊AB上的高h．

（2）設DN=x，且，當x取何值時，水池DEFN的面積最大？

（3）實際施工時，發現在AB上距B點1．85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護大樹，請設計出另外的方案，使內接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹．

Answer 1

【答案】（1）4.8 （2）2.4（3）見解析

【解析】試題分析：首先利用勾股定理求得的長．再利用三角形面積的兩種求法解得高的值．
（2）根據相似形對應邊成比例列出矩形面積關于的關系式S矩形DEFN

利用二次函數的性質求關系式的最大值．
（3）根據（2）知，知道的取值，此時S矩形DEFN最大，求得的值．再利用勾股定理求得的值，并與1.85比較大小．

試題解析：(1)過C作CG⊥AB于G，則CG=h，

在Rt△ABC中,

根據三角形面積公式得：

(2)∵如圖,NF∥AB，

∴△CNF∽△CAB

∴

∴S矩形DEFN

則當x=2.4時,S矩形DEFN最大；

(3)當S矩形DEFN最大，x=2.4，

過點C作CG⊥AB于點G，

∵△ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∵

∴F為BC中點，

在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3

∵BM=1.85

∴BM>EB

故文物必位于欲修建的建筑物邊上，應重新設計方案

∵x=2.4時，NF=5

∴AD=3.2

由圓的對稱性知：滿足題設條件的設計方案是：

將最大面積的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C點在半圓周上的△ABC中.