Question

我們來探究“雪花曲線”的有關問題：如圖（1）是邊長為1的正三角形，將此三正角形的每條邊三等分，而以居中的那一條線段為底邊再作正三角形；然后以其兩腰代替底邊，得到第二個圖形如圖（2）；再將圖（2）的每條邊三等分，并重復上述的作法，得到第三個圖形如圖（3），如此繼續下去，得到的第五個圖形的周長應等于

 

．

Answer 1

分析：此題注意首先根據前面幾個圖形找到相鄰兩個圖形的周長之間的關系，后一個圖形在前一個的基礎上多了它的

1

3

，以此類推，即可進一步得到和第一個圖形的周長之間的關系．

解答：解：觀察發現：第二個圖形在第一個圖形的周長的基礎上多了它的周長的

1

3

．
第三個在第二個的基礎上，多了其周長的

1

3

．
第二個周長：3×

4

3

，
第三個周長：3×

4

3

×

4

3

，
第四個周長：3×

4

3

×

4

3

×

4

3

．
第五個周長：3×

4

3

×

4

3

×

4

3

×

4

3

．
即得到的第5個圖形的周長是第一個周長的（

4

3

）⁴，即其周長是3×（

4

3

）⁴=

256

27

．
故答案為：

256

27

．

點評：此題考查了平面圖形，主要培養學生的觀察能力和空間想象能力，觀察出后一個圖形的周長在它的前一個的基礎上多了它周長的

1

3

是解題的關鍵．