Question

我們來探究“雪花曲線”的有關問題：下圖是邊長為1的正三角形，將此正三角形的每條邊三等分，而以居中的那一條線段為底邊再作正三角形，然后以其兩腰代替底邊，得到第二個圖形如下圖；再將下圖的每條邊三等分，并重復上述的作法，得到第三個圖形如下圖．
（1）求第5個圖形周長．
（2）求第n個圖形與周長C的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）注意首先根據前面幾個圖形找到相鄰周長之間的關系．再進一步得到第5個圖形周長和第一個圖形的周長之間的關系．
（2）根據（1）中分析直接得出規律，依此得出第n個圖形與周長C的函數關系式．

解答：解：（1）觀察發現：第二個圖形在第一個圖形的周長的基礎上多了它的周長的

1

3

．第三個在第二個的基礎上，多了其周長的

1

3

．依此類推，第二個周長：3×

4

3

，
第三個周長：3×

4

3

×

4

3

，
第四個周長：3×

4

3

×

4

3

×

4

3

．
第五個周長：3×

4

3

×

4

3

×

4

3

×

4

3

．
則得到的第5個圖形的周長是3×（

4

3

）⁴=

256

27

．

（2）n次分形，邊長變為原來的(

4

3

)n，
∴周長C=3×(

4

3

) (n-1)，
即第n個圖形與周長C的函數關系式為：C=3×（

4

3

）^n-1．

點評：此題考查了平面圖形，主要培養學生的觀察能力和空間想象能力．讀懂題目信息并靈活運用等邊三角形的性質是解題的關鍵．