Question

正方形ABCD的邊AB是⊙O的弦，CF切⊙O于點E，交AD于點F，且切點E在正方形的內部，AE，BE的長是方程x²-3x+m=0兩個實根．
（1）當AB是⊙O的直徑時（如圖），
①用含m的代數式表示AB的長；
②求m的值和AF的長；
（2）當AB不是⊙O的直徑時，△ABE能否與以B、C、E為頂點的三角形相似？請說明理由，若相似，求AE+AB的長．

Answer 1

解：（1）①根據題意，有AE，BE的長是方程x²-3x+m=0兩個實根，
則AE+BE=3，AE•BE=m；
又有AB是⊙O的直徑，可得AB²=AE²+BE²，
化簡可得：AB²=（AE+BE）²-2AE•BE=9-2m，
故AB=；
②連接OC、OF，分別交BE、AE于M、N，連接OE；
∵CE、CB都是⊙O的切線，
∴∠ECO=∠BCO，∠OEC=∠OBC=90°，
∴∠EOC=∠BOC，
∴OM垂直平分BE，即OM⊥BE、EM=BM，
又∵O是AB的中點，∴OM是△ABE的中位線，即AE=2OM；
△ABE和△BMC中：
AB=BC，∠AEB=∠BMC=90°，∠CBM=∠EAB（弦切角定理），
∴△AEB≌△BMC，即MC=BE=2BM=4OM；
設OM=x，則AE=BM=2x，BE=MC=4x，
∵AE+BE=3，即2x+4x=3，故x=，
∴AE=1，BE=2，m=AE•E=2，AB=；
同理可證得ON是△ABE的中位線，則ON∥BE，∠AOF=∠ABE，
∴tan∠AOF=tan∠ABE=，即AF=OA=AB=．

（2）由于CF切⊙O于E，則∠CEB=∠EAB；
∵點E在正方形ABCD的內部，
∴AE、BC不平行，即∠AEB≠∠CBE；
若△ABE能否與以B、C、E為頂點的三角形相似，
則必有∠AEB=∠ECB，此時：
，即BE²=AB²，BE=AB；
所以△ABE可以與以B、C、E為頂點的三角形相似，此時BE等于正方形的邊長；
那么AE+AB=AE+BE=3．
分析：（1）①根據圓周角定理知∠AEB=90°，則△ABE是直角三角形，利用韋達定理及勾股定理即可得到AB的表達式；
②連接OC，交BE于M，由切線長定理知∠ECO=∠BCO，即∠EOC=∠BOC，那么由垂徑定理即可得到OC垂直平分BE；由于AB=BC，易證得△BMC≌△AEB，則BE=CM=2BM，由此可得到BM、OM、MC的比例關系式，由于OM=AE（三角形中位線定理），根據AE+BE的值，即可求得OM、MC的長，從而得到AE、BE的值，也就能求出m的值和AB的長；
連接OF，交AE于N，同上可證得OF垂直平分AE，則ON是△ABE的中位線，那么∠AOF和∠ABE的正切值相等，已知了OA的長，即可得到AF的長．
（2）由于CE切⊙O于E，由弦切角定理知∠CEB=∠EAB，由于E在正方形內部，即AE不與BC平行，所以∠AEB與∠EBC不相等，若兩三角形相似，只有∠AEB=∠ECB，可得BE²=AB•BC=AB²，即BE與正方形的邊長相等，因此兩個三角形有可能相似，且此時AE+AB=AE+BE=3．
點評：此題考查了正方形的性質、切線的性質、弦切角定理、垂徑定理、三角形中位線定理以及全等三角形、相似三角形的判定和性質等重要知識點，理清圖中線段、角之間的關系是解答此題的關鍵．