Question

如圖，正方形ABCD的邊長是6，點F在AD上，點E在AB的延長線上，CE⊥CF，且△CEF的面積是24．
（1）求證：△CDF≌△CBE；
（2）求DF的長度．

Answer 1

分析：（1）根據等角的余角相等判斷出∠ECB=∠FCD，又知∠CDF=∠CBE=90°，DC=CB，可得△DCF≌△BCE．
（2）根據全等三角形的性質可知，CF=CE，根據三角形的面積公式求出三角形的邊長，再利用勾股定理求出DF的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=CB=6，∠D=∠CBE=90°，
∵CE⊥CF，
∴∠DCF+∠FCB=90°，∠ECB+∠FCB=90°，
∴∠DCF=∠ECB，
∴△DCF≌△BCE．

（2）解：由（1）得CF=CE，
由△CEF的面積是24，可得CF=CE=

48

=4

3

，
在Rt△CDF中，DF=

CF2-CD2

=

48-36

=2

3

．

點評：此題考查了正方形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質，要充分利用正方形的四條邊相等等性質解答．