Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4a，E是CD邊的中點，F在BC邊上移動．問當F移到什么位置時，AE平分∠FAD？請證明你的結論．

Answer 1

分析：①證到∠AEF=90°后，也可過E作EG⊥AF于G，通過證明Rt△ADE≌Rt△AGE也可．
②連接EF后，通過分別計算出Rt△ADE和△AEF的邊，考查三邊對應成比例而得到△ADE∽△AEF也可．
③計算AE²=20a²，EF²=5a²，AF²=25a²，由勾股定理逆定理知△AEF為Rt△，再由tan∠EAF=tan∠EAD=

1

2

，
∠EAF和∠EAD都是銳角，∠FAE=∠EAD．

解答：解：當點F移動到距點C為a（即CF=a）時，AE平分∠FAD．（2分）
證明：連接EF，則在Rt△ADE與Rt△ECF中，
由已知可得AE=2

5

a，EF=

5

a．

AD

EC

=

4a

2a

=2，

DE

CF

=

2a

a

=2，
∴

DE

CF

=

AD

EC

，
∴Rt△ADE∽Rt△ECF．（4分）
于是∠AED=∠EFC，從而可得∠AEF=90°．（5分）
∴

AE

AD

=

5

2

=

EF

DE

，
∴Rt△ADE∽Rt△AEF，（6分）
故∠DAE=∠EAF．（7分）

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理及其逆定理等知識點．