Question

如圖15，在△ABC中，BC=12，AB=10，sinB=, 動點D從點A出發，以每秒1個單位的速度沿線段AB向點B 運動，DE∥BC，交AC于點E，以DE為邊，在點A的異側作正方形DEFG．設運動時間為t，

（1）t為何值時，正方形DEFG的邊GF在BC上；

（2）當GF運動到△ABC外時， EF、DG分別與BC交于點P、Q，是否存在時刻t，使得△CEP與△BDQ的面積之和等于△ABC面積的？

（3）設△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為S，試求S的最大值．

Answer 1

過點A作BC邊上的高AM，垂足為M，交DE于N．

∵AB=10，sinB=，∴AM= AB sinB= 6，

∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,

∴，即，

   ∴DE=t，AN=t，MN=6﹣t，

（1）當正方形DEFG的邊GF在BC上時，如圖①，

DE=DG=MN，即t=6﹣t，∴t=，

∴當t=時，正方形DEFG的邊GF在BC上．……………4分

(2) 當GF運動到△ABC外時，如圖②，

   S_△CEP+ S_△BDQ=

               =

    S_△ABC=

    令，

解得t₁=15（舍去），t₂=5，

    ∴當t=5時，△CEP與△BDQ的面積之和等于△ABC面積的．…………8分

（3）分兩種情況：

①當正方形DEFG在△ABC的內部時，如圖14，

S=DE²=(t)²=t²，此時t的范圍是0≤t≤，

   當t=時，S的最大值為16．

②當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，

如圖②，S=DE•MN=t(6﹣t)=﹣t²+t，此時t

的范圍是<t≤10，

  ∵﹣<0，∴ 當t=5時，S的最大值為18，

∵18>16，∴S的最大值為18．