Question

如圖15，在△ABC和△PQD中，AC =" k" BC，DP =" k" DQ，∠C =∠PDQ，D、E分別是AB、AC的中點，點P在直線BC上，連結EQ交PC于點H．猜想線段EH與AC的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

結論：EH=AC．
證明：取BC邊中點F，連接DE、DF．
∵D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點．
∴DE∥BC且DE=BC，
DF∥AC且DF=AC，
EC=AC ∴四邊形DFCE是平行四邊形．
∴∠EDF=∠C． 
∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ ="∠EDF" ， ∴∠PDF=∠QDE．
又∵AC=kBC，∴DF=kDE．
∵DP="kDQ" ，∴．
∴△PDF∽△QDE．
∴∠DEQ=∠DFP．
又∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．
∴∠C =∠EHC．
∴EH=EC．
∴EH=AC．
選圖16．結論：EH=AC．
證明：取BC邊中點F，連接DE、DF．
∵D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，
∴DE∥BC且DE=BC， DF∥AC且DF=AC，
EC=AC ，∴四邊形DFCE是平行四邊形．
∴∠EDF=∠C．
∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ="∠EDF" ， ∴∠PDF=∠QDE．
又∵AC=BC， ∴DE=DF，∵PD=QD，∴△PDF≌△QDE．
∴∠DEQ=∠DFP．
∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．
∴∠C =∠EHC
∴EH=EC．
∴EH=AC．
選圖17． 結論： EH=AC．
證明：連接AH．
∵D是AB中點，∴DA=DB．
又∵DB=DQ，∴DQ=DP=AD．∴∠DBQ=∠DQB，．
∵∠DBQ+∠DQB+∠DQA+∠DAQ，=180°，∴∠AQB=90°，
∴AH⊥BC．
又∵E是AC中點，∴HE=AC．

解析