Question

2．如圖①，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去四個全等的等腰直角三角形（陰影部分所示），其中E，F在AB上；再沿虛線折起，點A，B，C，D恰好重合于點O處（如圖②所示），形成有一個底面為正方形GHMN的包裝盒，設AE=x （cm）．
（1）求線段GF的長；（用含x的代數式表示）
（2）當x為何值時，矩形GHPF的面積S （cm²）最大？最大面積為多少？
（3）試問：此種包裝盒能否放下一個底面半徑為15cm，高為10cm的圓柱形工藝品，且使得圓柱形工藝品的一個底面恰好落在圖②中的正方形GHMN內？若能，請求出滿足條件的x的值或范圍；若不能，請說明理由． 

Answer 1

分析 （1）AE=BF=x，據此即可利用x表示出等腰直角△EFG的斜邊EF的長，然后利用三角函數求得GF的長；
（2）首先利用矩形的面積公式表示出面積S，然后利用二次函數的性質即可求解；
（3）首先求得與正方形各邊相切的線段的長度，然后判斷高小于或等于10cm即可判斷，然后根據NG的長不小于30cm，高不小于10cm即可列不等式求得x的范圍．

解答 解：（1）∵AE=BF=x，
∴EF=AB-AE-BF=60-2x．
∴在Rt△GEF中，GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（60-2x）=30$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x；
（2）∵NG=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$x，即GH=NG=$\sqrt{2}$x，
∴S=$\sqrt{2}$x （30$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x）=-2x²+60x 
=-2（x-15）²+450；
∵-2＜0，
∴當x=15時，S_最大=450；
（3）能放下．
理由是：當圓柱形工藝品與GHMN相切時，x=15$\sqrt{2}$，
此時，30$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x=30$\sqrt{2}$-15$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=30$\sqrt{2}$-30＞10，故一定能放下．
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{30\sqrt{2}-\sqrt{2}x≥10}\\{\sqrt{2}x≥30}\end{array}\right.$
解得：15$\sqrt{2}$≤x≤30-5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圖形的折疊以及 等腰直角三角形的性質，本題中利用x表示出三角形的面積是本題的關鍵．